密码学之对称加密体系（2）：AES、SM4的 S 盒具体算法的实现

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一、AES S盒实现方法

关于复合域算法实现原理可以参考下面这篇博文：
AES、SM4的 S 盒有限域与复合域算法实现原理

1.1 实现方法

AES的S盒是定义在$GF(2^8)$（不可约多项式$x^8+x^4+x^3+x+1$），其表达式为$S(x) = Ax^{-1}+c$
具体如下：

$$\left( \begin{array}{c} s_7 \\ s_6 \\ s_5 \\ s_4 \\ s_3 \\ s_2 \\ s_1 \\ s_0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_7 \\ x_6 \\ x_5 \\ x_4 \\ x_3 \\ x_2 \\ x_1 \\ x_0 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$$

1.2 求矩阵X和逆

求 $X$ 和 $X^{-1}$，我们需要计算 $w$，$z$ 和 $y$，计算 $w^2z^4y^{16}$等一系列系数值。
Canright在文章中给出了 $GF(2^8)$ 生成元 $B$ 的 对数表，方便计算。
这里直接通过搜索进行计算。

from pyfinite import ffield

gen = 0b100011011
F = ffield.FField(8, gen, useLUT=0) # 这里一定要写useLUT=0，不然会出问题。。。

def field_pow2(x, F): #计算在F域上的平方
    return F.Multiply(x, x)

def field_pow3(x, F): #计算在F域上的三次方
    return F.Multiply(x, field_pow2(x, F))

def field_pow4(x, F): #计算在F域上的四次方
    return field_pow2(field_pow2(x, F), F)

1. 首先，搜索$GF(2^2)$的正规基${W^2, W}$，我们求出其在$GF(2^8)$下多项式基的表示。

for i in range(256):
    if field_pow2(i, F)^i^1 == 0: # 搜索 w^2+w+1 = 0的根
        print(hex(i))

我们可得到，$W = 0xbd$，$W^2 = 0xbc$（一定要注意，这是$GF(2^8)$的多项式基表示）

1. 然后，搜索$GF(2^4)/GF(2^2)$的正规基${Z^4, Z}$，我们求出其在$GF(2^8)$下多项式基的表示。$s(z) = z^2 + z + N\\N = W^2 = 0xbc$

for i in range(256):
    if field_pow2(i, F)^i^0xbc == 0: # 搜索 z^2+z+0xbc = 0的根
        print(hex(i))

于是我们又得到，$Z = 0x5c$，$Z^4 = 0x5d$

1. 最后，搜索$GF(2^8)/GF(2^4)$的正规基${Y^{16}, Y}$，我们求出其在$GF(2^8)$下多项式基的表示。$r(y) = y^2 + y +\upsilon \\ \upsilon = N^2Z$

u = F.Multiply(field_pow2(0xbc, F), 0x5c)
for i in range(256):
    if field_pow2(i, F)^i^0xec == 0: # 搜索 z^2+z+0xbc = 0的根
        print(hex(i))

于是我们又得到，$Y= 0xff$，$Y^{16} = 0xfe$

w = 0xbd
w_2 = 0xbc
z = 0x5c
z_4 = 0x5d
y = 0xff
y_16 = 0xfe
w_2_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y_16)
w_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y_16)
w_2_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y_16)
w_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y_16)
w_2_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y)
w_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y)
w_2_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y)
w_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y)
print('w_2_z_4_y_16\t', hex(w_2_z_4_y_16))
print('w_z_4_y_16\t', hex(w_z_4_y_16))
print('w_2_z_y_16\t', hex(w_2_z_y_16))
print('w_z_y_16\t', hex(w_z_y_16))
print('w_2_z_4_y\t', hex(w_2_z_4_y))
print('w_z_4_y\t\t', hex(w_z_4_y))
print('w_2_z_y\t\t', hex(w_2_z_y))
print('w_z_y\t\t', hex(w_z_y))

得到多项式基在复合域基下表示如下：

$$\left( \begin{array}{c} g_7\\ g_6 \\ g_5\\ g_4 \\ g_3 \\ g_2\\ g_1 \\ g_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} b_7\\ b_6 \\ b_5\\ b_4 \\ b_3 \\ b_2\\ b_1 \\ b_0 \end{array} \right)$$

求$X^{-1}$，可得到复合域基下多项式基的表示：

from pyfinite import genericmatrix

XOR = lambda x,y: x^y
AND = lambda x,y: x&y
DIV = lambda x,y: x 
m = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)

m.SetRow(0, [0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1])
m.SetRow(2, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
m.SetRow(3, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(4, [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0])
m.SetRow(5, [1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(6, [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(m)

print(m.Inverse())

$$\left( \begin{array}{c} b_7\\ b_6 \\ b_5\\ b_4 \\ b_3 \\ b_2\\ b_1 \\ b_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} g_7\\ g_6 \\ g_5\\ g_4 \\ g_3 \\ g_2\\ g_1 \\ g_0 \end{array} \right)$$

1.3、具体函数实现

1.3.1 基础函数定义

g2b = [0b10011000, 0b11110011, 0b11110010, 0b01001000, 0b00001001, 0b10000001, 0b10101001, 0b11111111]
b2g = [0b01100100, 0b01111000, 0b01101110, 0b10001100, 0b01101000, 0b00101001, 0b11011110, 0b01100000]

def G4_mul(x, y):
    '''
    GF(2^2)的乘法运算，正规基{W^2, W}
    '''
    a = (x & 0x02)>>1
    b = x & 0x01
    c = (y & 0x02)>>1
    d = y & 0x01
    e = (a ^ b) & (c ^ d)
    return (((a & c) ^ e) << 1)|((b & d) ^ e)

def G4_mul_N(x):
    '''
    GF(2^2)的乘N操作，N = W^2
    '''
    a = (x & 0x02)>>1
    b = x & 0x01
    p = b
    q = a ^ b
    return (p<<1)|q

def G4_mul_N2(x):
    '''
    GF(2^2)的乘N^2操作，N = W^2
    '''
    a = (x & 0x02)>>1
    b = x & 0x01
    return ((a ^ b)<<1)|a

def G4_inv(x):
    '''
    GF(2^2)的求逆操作，该操作和GF(2^2)的平方操作等价
    '''
    a = (x & 0x02)>>1
    b = x & 0x01
    return (b<<1)|a

def G16_mul(x, y):
    '''
    GF(2^4)的乘法操作，正规基{Z^4, Z}
    '''
    a = (x & 0xc)>>2
    b = x & 0x03
    c = (y & 0xc)>>2
    d = y & 0x03
    e = G4_mul(a ^ b, c ^ d)
    e = G4_mul_N(e)
    p = G4_mul(a, c) ^ e
    q = G4_mul(b, d) ^ e
    return (p<<2) | q

def G16_sq_mul_u(x):
    '''
    GF(2^4)的平方后乘u操作, u = N^2Z, N = W^2
    '''
    a = (x & 0xc)>>2
    b = x & 0x03
    p = G4_inv(a ^ b) # G4平方和求逆等价
    q = G4_mul_N2(G4_inv(b)) 
    return (p<<2)|q

def G16_inv(x):
    '''
    GF(2^4)的求逆操作
    '''
    a = (x & 0xc)>>2
    b = x & 0x03
    c = G4_mul_N(G4_inv(a ^ b))
    d = G4_mul(a, b)
    e = G4_inv(c ^ d)
    p = G4_mul(e, b)
    q = G4_mul(e, a)
    return (p<<2)|q

def G256_inv(x):
    '''
    GF(2^8)的求逆操作
    '''
    a = (x & 0xF0)>>4
    b = x & 0x0F
    c = G16_sq_mul_u(a ^ b)
    d = G16_mul(a, b)
    e = G16_inv(c ^ d)
    p = G16_mul(e, b)
    q = G16_mul(e, a)
    return (p<<4)|q

def G256_new_basis(x, b):
    '''
    x在新基b下的表示
    '''
    y = 0
    for i in range(8):
        if x & (1<<(7-i)):
            y ^= b[i]
    return y

1.3.2 计算S盒输出值

A = [0b10001111, 0b11000111, 0b11100011, 0b11110001, 0b11111000, 0b01111100, 0b00111110, 0b00011111] #仿射变换矩阵乘

def AES_SBOX(x):
    t = G256_new_basis(x, g2b)
    t = G256_inv(t)
    t = G256_new_basis(t, b2g)
    t = G256_new_basis(t, A) #仿射变换乘
    return t ^ 0x63

sbox = []
for i in range(256):
    sbox.append(AES_SBOX(i))  # 生成sbox

for i,s in enumerate(sbox):
    print(f'%02x'%s,', ', end='')
    if (i+1)%16==0:
        print()

二、 SM4 S盒实现方法

2.1 实现方法

SM4 的 S 盒和 AES 不同， 定义在$GF(2^8)$采用的不可约多项式为$x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$
生成方式为$S(x) = A(Ax+c)^{-1}+c$
其中：

$$A = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right) %右括号 , c = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$$

2.2 求矩阵X和逆

不可约多项式不同，$X$ 矩阵也不相同。下面我们为 SM4 求 $X$ 和 $X^{-1}$，我们需要计算 $w$，$z$ 和 $y$，计算 $w^2z^4y^{16}$等一系列系数值

from pyfinite import ffield

gen = 0b111110101
F = ffield.FField(8, gen, useLUT=0) # 这里一定要写useLUT=0，不然会出问题。。。

首先，搜索$GF(2^2)$的正规基${W^2, W}$，我们求出其在$GF(2^8)$下多项式基的表示。

for i in range(256):
    if field_pow2(i, F)^i^1 == 0: # 搜索 w^2+w+1 = 0的根
        print(hex(i))

我们得到，$W = 0x5d$，$W^2 = 0x5c$（一定要注意，这是$GF(2^8)$的多项式基表示）

然后，搜索$GF(2^4)/GF(2^2)$的正规基${Z^4, Z}$，我们求出其在$GF(2^8)$下多项式基的表示。$s(z) = z^2 + z + N\\N = W^2 = 0x5c$

for i in range(256):
    if field_pow2(i, F)^i^0x5c == 0: # 搜索 z^2+z+0x5c = 0的根
        print(hex(i))

于是我们又得到，$Z = 0x0c$，$Z^4 = 0x0d$

最后，搜索$GF(2^8)/GF(2^4)$的正规基${Y^{16}, Y}$，我们求出其在$GF(2^8)$下多项式基的表示。$r(y) = y^2 + y +\upsilon \\ \upsilon = N^2Z$

u = F.Multiply(field_pow2(0x5c, F), 0x0c)
for i in range(256):
    if field_pow2(i, F)^i^0x76 == 0: # 搜索 z^2+z+0x76 = 0的根
        print(hex(i))

于是我们又得到，$Y= 0xef$，$Y^{16} = 0xee$

w = 0x5d
w_2 = 0x5c
z = 0x0c
z_4 = 0x0d
y = 0xef
y_16 = 0xee
w_2_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y_16)
w_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y_16)
w_2_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y_16)
w_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y_16)
w_2_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y)
w_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y)
w_2_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y)
w_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y)

print('w_2_z_4_y_16\t', hex(w_2_z_4_y_16))
print('w_z_4_y_16\t', hex(w_z_4_y_16))
print('w_2_z_y_16\t', hex(w_2_z_y_16))
print('w_z_y_16\t', hex(w_z_y_16))
print('w_2_z_4_y\t', hex(w_2_z_4_y))
print('w_z_4_y\t\t', hex(w_z_4_y))
print('w_2_z_y\t\t', hex(w_2_z_y))
print('w_z_y\t\t', hex(w_z_y))

得到多项式基在复合域基下表示如下：

$$\left( \begin{array}{c} g_7\\ g_6 \\ g_5\\ g_4 \\ g_3 \\ g_2\\ g_1 \\ g_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} b_7\\ b_6 \\ b_5\\ b_4 \\ b_3 \\ b_2\\ b_1 \\ b_0 \end{array} \right)$$

求$X^{-1}$，可得到复合域基下多项式基的表示：

from pyfinite import genericmatrix

XOR = lambda x,y: x^y
AND = lambda x,y: x&y
DIV = lambda x,y: x 
m = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)

m.SetRow(0, [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1])
m.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
m.SetRow(2, [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(3, [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
m.SetRow(4, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(5, [1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1])
m.SetRow(6, [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0])
m.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(m)
print(m.Inverse())

2.3 具体函数实现

2.3.1 基础函数定义

SM4 和 AES 采用的复合域结构相同，其基础函数也相同。仅定义X矩阵即可。

g2b = [0b00100001, 0b11010011, 0b10000001, 0b01001010, 0b10001010, 0b10111001, 0b10110000, 0b11111111]
b2g = [0xf4, 0xec, 0x54, 0xa2, 0xd2, 0xc7, 0x2e, 0xd4]

2.3.2 计算S盒输出值

A = [0b11100101, 0b11110010, 0b01111001, 0b10111100, 0b01011110, 0b00101111, 0b10010111, 0b11001011]
def SM4_SBOX(x):
    t = G256_new_basis(x, A)
    t ^= 0xd3
    t = G256_new_basis(t, g2b)
    t = G256_inv(t)
    t = G256_new_basis(t, b2g)
    t = G256_new_basis(t, A) #仿射变换乘
    return t ^ 0xd3

sbox = []
for i in range(256):
    sbox.append(SM4_SBOX(i))  # 生成sbox

for i,s in enumerate(sbox):
    print(f'%02x'%s,', ', end='')
    if (i+1)%16==0:
        print()

三、推广结论

通过 AES 和 SM4 的 S 盒复合域实现，我们不难发现，在复合域上，AES 和 SM4 的求逆运算过程相同，而除此之外，其他操作都是线性的仿射变换。
那么我们能不能通过 AES 的 S 盒计算 SM4 的 S 盒输出呢？也就是，$S_{sm4}(x) = L(S_{aes}(Mx+C_1)) + C_2$，下面我们尝试进行推导。

假设复合域求逆运算为$f$，则:

$$\begin{cases} S_{aes}(x) = A_{aes}X_{aes}f(X^{-1}_{aes}x)+0x63 &\Rightarrow f(X^{-1}_{aes}x) = X^{-1}_{aes}A_{aes}^{-1}(S_{aes}(x) + 0x63) \\ & \Rightarrow f(x) = X^{-1}_{aes}A_{aes}^{-1}(S_{aes}(X_{aes}x) + 0x63) \end{cases}\\$$

由此得出：

$$\begin{cases} &S_{sm4}(x) = A_{sm4}X_{sm4}f(X^{-1}_{sm4}(A_{sm4}x+0xd3))+0xd3 \Rightarrow \\ &S_{sm4}(x) = A_{sm4}X_{sm4}X^{-1}_{aes}A_{aes}^{-1}(S_{aes}(X_{aes}(X^{-1}_{sm4}(A_{sm4}x+0xd3))) + 0x63) +0xd3 \end{cases}$$

由此可得出:

$$\begin{cases} &M = X_{aes}X^{-1}_{sm4}A_{sm4}\\ &C_1 = X_{aes}X^{-1}_{sm4}0xd3 \\ &L = A_{sm4}X_{sm4}X^{-1}_{aes}A^{-1}_{aes} \\ &C_2 = A_{sm4}X_{sm4}X^{-1}_{aes}A^{-1}_{aes}0x63+0xd3 \end{cases}$$

XOR = lambda x,y: x^y
AND = lambda x,y: x&y
DIV = lambda x,y: x 
X_aes = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
X_sm4 = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
A_aes = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
A_sm4 = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
c_aes = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 1),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
c_sm4 = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 1),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)

X_aes.SetRow(0, [0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1])
X_aes.SetRow(2, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
X_aes.SetRow(3, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(4, [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0])
X_aes.SetRow(5, [1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(6, [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(X_aes)

X_aes_inv = X_aes.Inverse()
X_aes_inv

X_sm4.SetRow(0, [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1])
X_sm4.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
X_sm4.SetRow(2, [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
X_sm4.SetRow(3, [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
X_sm4.SetRow(4, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
X_sm4.SetRow(5, [1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1])
X_sm4.SetRow(6, [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0])
X_sm4.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(X_sm4)

X_sm4_inv = X_sm4.Inverse()
X_sm4_inv

A_aes.SetRow(0, [1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0])
A_aes.SetRow(1, [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0])
A_aes.SetRow(2, [0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0])
A_aes.SetRow(3, [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1])
A_aes.SetRow(4, [1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1])
A_aes.SetRow(5, [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1])
A_aes.SetRow(6, [1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1])
A_aes.SetRow(7, [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1])
print(A_aes)

A_aes_inv = A_aes.Inverse()

A_sm4.SetRow(0, [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1])
A_sm4.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
A_sm4.SetRow(2, [1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0])
A_sm4.SetRow(3, [0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0])
A_sm4.SetRow(4, [0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1])
A_sm4.SetRow(5, [1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0])
A_sm4.SetRow(6, [0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1])
A_sm4.SetRow(7, [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1])
print(A_sm4)

A_sm4_inv = A_sm4.Inverse()

M = X_aes*X_sm4_inv*A_sm4
print(M)

A = [0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1]
for i in range(8):
    c_aes.SetRow(i, [A[i]])
print(c_aes)

A = [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]
for i in range(8):
    c_sm4.SetRow(i, [A[i]])
print(c_sm4)

C1 = X_aes*(X_sm4_inv*c_sm4)
print(C1)

L = A_sm4*X_sm4*X_aes_inv*A_aes_inv
print(L)

因此:

$$S_{sm4}(x) = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) S_{aes}( \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right)x+ \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right) )+ \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right)$$

可以进行程序验证如下：

L = [0b10100101, 0b11001101, 0b11100000, 0b10100100, 0b10010100, 0b01100100, 0b10010000, 0b00001111]
M = [0b10101011, 0b01101100, 0b00110111, 0b10011000, 0b00111010, 0b11011111, 0b11001001, 0b01110101]
c1 = 0x69
c2 = 0x61

SBOX_AES = [0x63 , 0x7c , 0x77 , 0x7b , 0xf2 , 0x6b , 0x6f , 0xc5 , 0x30 , 0x01 , 0x67 , 0x2b , 0xfe , 0xd7 , 0xab , 0x76 , 
0xca , 0x82 , 0xc9 , 0x7d , 0xfa , 0x59 , 0x47 , 0xf0 , 0xad , 0xd4 , 0xa2 , 0xaf , 0x9c , 0xa4 , 0x72 , 0xc0 , 
0xb7 , 0xfd , 0x93 , 0x26 , 0x36 , 0x3f , 0xf7 , 0xcc , 0x34 , 0xa5 , 0xe5 , 0xf1 , 0x71 , 0xd8 , 0x31 , 0x15 , 
0x04 , 0xc7 , 0x23 , 0xc3 , 0x18 , 0x96 , 0x05 , 0x9a , 0x07 , 0x12 , 0x80 , 0xe2 , 0xeb , 0x27 , 0xb2 , 0x75 , 
0x09 , 0x83 , 0x2c , 0x1a , 0x1b , 0x6e , 0x5a , 0xa0 , 0x52 , 0x3b , 0xd6 , 0xb3 , 0x29 , 0xe3 , 0x2f , 0x84 , 
0x53 , 0xd1 , 0x00 , 0xed , 0x20 , 0xfc , 0xb1 , 0x5b , 0x6a , 0xcb , 0xbe , 0x39 , 0x4a , 0x4c , 0x58 , 0xcf , 
0xd0 , 0xef , 0xaa , 0xfb , 0x43 , 0x4d , 0x33 , 0x85 , 0x45 , 0xf9 , 0x02 , 0x7f , 0x50 , 0x3c , 0x9f , 0xa8 , 
0x51 , 0xa3 , 0x40 , 0x8f , 0x92 , 0x9d , 0x38 , 0xf5 , 0xbc , 0xb6 , 0xda , 0x21 , 0x10 , 0xff , 0xf3 , 0xd2 , 
0xcd , 0x0c , 0x13 , 0xec , 0x5f , 0x97 , 0x44 , 0x17 , 0xc4 , 0xa7 , 0x7e , 0x3d , 0x64 , 0x5d , 0x19 , 0x73 , 
0x60 , 0x81 , 0x4f , 0xdc , 0x22 , 0x2a , 0x90 , 0x88 , 0x46 , 0xee , 0xb8 , 0x14 , 0xde , 0x5e , 0x0b , 0xdb , 
0xe0 , 0x32 , 0x3a , 0x0a , 0x49 , 0x06 , 0x24 , 0x5c , 0xc2 , 0xd3 , 0xac , 0x62 , 0x91 , 0x95 , 0xe4 , 0x79 , 
0xe7 , 0xc8 , 0x37 , 0x6d , 0x8d , 0xd5 , 0x4e , 0xa9 , 0x6c , 0x56 , 0xf4 , 0xea , 0x65 , 0x7a , 0xae , 0x08 , 
0xba , 0x78 , 0x25 , 0x2e , 0x1c , 0xa6 , 0xb4 , 0xc6 , 0xe8 , 0xdd , 0x74 , 0x1f , 0x4b , 0xbd , 0x8b , 0x8a , 
0x70 , 0x3e , 0xb5 , 0x66 , 0x48 , 0x03 , 0xf6 , 0x0e , 0x61 , 0x35 , 0x57 , 0xb9 , 0x86 , 0xc1 , 0x1d , 0x9e , 
0xe1 , 0xf8 , 0x98 , 0x11 , 0x69 , 0xd9 , 0x8e , 0x94 , 0x9b , 0x1e , 0x87 , 0xe9 , 0xce , 0x55 , 0x28 , 0xdf , 
0x8c , 0xa1 , 0x89 , 0x0d , 0xbf , 0xe6 , 0x42 , 0x68 , 0x41 , 0x99 , 0x2d , 0x0f , 0xb0 , 0x54 , 0xbb , 0x16]

def SM4_SBOX_CALC_WITH_AES(x):
    t = G256_new_basis(x, M)
    t ^= c1
    t = SBOX_AES[t]
    t = G256_new_basis(t, L)
    t ^= c2
    return t

sbox = []
for i in range(256):
    sbox.append(SM4_SBOX_CALC_WITH_AES(i))  # 生成sbox

for i,s in enumerate(sbox):
    print(f'%02x'%s,', ', end='')
    if (i+1)%16==0:
        print()

四、总结

对 AES 和 SM4 来说，我们都可以把仿射变换和基变换操作的矩阵乘结合起来，简化对应的计算过程，从而减少运算。
利用这一思想，我们可以对 AES 和 SM4 的 bit直接进行逻辑运算，避免查表操作。
在硬件实现时，可利用该方法构造资源非常受限情况下的S盒实现。在软件上，该方法在抵抗cache攻击方面有效果，同时，我们可以使用bitslice并行技术进行加速。

此外，SM4 的 S 盒可由 AES 表示得出，这一点在 CPU 有 AES 的指令集时，可将 SM4 的 S 盒运算转化为 AES 的 S 盒运算进行加速。

附录：AES 和 SM4 的 S 盒生成方法简介

AES S盒

原理
AES的S盒是定义在$GF(2^8)$（不可约多项式$x^8+x^4+x^3+x+1$），其表达式为$S(x) = Ax^{-1}+c$，具体如下：

$$\left( \begin{array}{c} s_7 \\ s_6 \\ s_5 \\ s_4 \\ s_3 \\ s_2 \\ s_1 \\ s_0 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_7 \\ x_6 \\ x_5 \\ x_4 \\ x_3 \\ x_2 \\ x_1 \\ x_0 \\ \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$$

该表示是将一个字节（8 bits）看成$GF(2^8)$上的一个元素。将$GF(2^8)$看成向量空间，其上任何一个元素均可由该向量空间的一组基表示。在AES的定义使用多项式基:假设$A$为多项式$x^8+x^4+x^3+x+1$的根，即$A^8+A^4+A^3+A+1=0$。那么任何一个元素$x$可以表示为$x = x_7A^7+x_6A^6+x_5A^5+x_4A^4+x_3A^3+x_2A^2+x_1A+x_0$

生成
下面我们尝试利用pyfinite生成 AES 的 S 盒。

from pyfinite import ffield

gen = 0b100011011
F = ffield.FField(8, gen, useLUT=0) # 这里一定要写useLUT=0，不然会出问题。。。

A = [0b10001111, 0b11000111, 0b11100011, 0b11110001, 0b11111000, 0b01111100, 0b00111110, 0b00011111]

def aes_sbox_gen(x):
    '''
    输入x，输出S(x)
    '''
    x_inv = F.Inverse(x)
    y = 0
    for i, a in enumerate(A):
        if(x_inv&(1<<(7-i))):
            y ^= a  # 若该bit为1，则异或相应列
    return y^0x63

sbox = []
for i in range(256):
    sbox.append(aes_sbox_gen(i))  # 生成sbox

SM4 S盒

生成
在SM4官方文档中，仅仅给出了S盒的定义。进行学术搜索，发现各个论文上对SM4 S盒的生成方法描述各有不同。比较靠谱的一篇描述为S-box Optimization for SM4 Algorithm，结合GMSSL中关于SM4 bitslice的实现sm4_bs.c，我们可以得出：SM4 S盒同样定义在$GF(2^8)$上。与AES有所不同，该$GF(2^8)$采用的不可约多项式为$x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$，生成方式为$S(x) = A(Ax+c)^{-1}+c$，其中：

$$A = \left( \begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right), c = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$$

SM4的S盒生成也是采用了多项式基的表示，同AES。

from pyfinite import ffield

gen = 0b111110101
F = ffield.FField(8, gen, useLUT=0) # 这里一定要写useLUT=0，不然会出问题。。。

A = [0b11100101, 0b11110010, 0b01111001, 0b10111100, 0b01011110, 0b00101111, 0b10010111, 0b11001011]

def sm4_sbox_gen(x):
    '''
    输入x，输出S(x)
    '''
    y = 0
    for i, a in enumerate(A):
        if(x&(1<<(7-i))):
            y ^= a  # 若该bit为1，则异或相应列, y=Ax
    y ^= 0xd3
    y_inv = F.Inverse(y) # (Ax+c)^(-1)
    z = 0
    for i, a in enumerate(A):
        if(y_inv&(1<<(7-i))):
            z ^= a  # 若该bit为1，则异或相应列, z=A(Ax+c)^(-1)
    return z^0xd3

sbox = []
for i in range(256):
    sbox.append(sm4_sbox_gen(i))  # 生成sbox

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